אינסוף פעמיים: הוכחה למשפט פתגורס

יום שני, 29 בספטמבר 2014

הוכחה למשפט פתגורס

למשפט פתגורס קיימות עשרות הוכחות מקוריות. חלק מהן ממש יצירתיות ויפות וחלקן מסורבלות, ארוכות ולא מעניינות במיוחד. הדרך הכי מוכרת להוכחת משפט פתגורס היא בעזרת שטח ריבוע :

דרך לא מסובכת, גם ממבט באיור ניתן לבוכיח את המשפט.

הדרך היותר יצירתית שנשיא ארצות הברית מצא היא זו:

ידוע ששטח של טרפז שווה ל:

$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

ניתן לראות כי זהו טרפז שגובהו הוא a+b ולכן:

$S=\frac{(a+b)^{2}}{2}$

מפני שמשולשים 1 ו2 מונחים כך אחד ליד השני אז משולש 3 הוא גם כן ישר זוית.

ומכאן, שטח שלושת במשולשים שווה

$S=\frac{a\cdot b}{2}+\frac{a\cdot b}{2}+\frac{c^{2}}{2}$

כלומר:

$S=ab+\frac{c^{2}}{2}$

כאשר נשווה:

$ab+\frac{c^{2}}{2}=\frac{(a+b)^{2}}{2}$

ומכאן נקבל:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

הוכחה לא מסובכת וגם אלגנטית מאוד.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה

הירשם ל- תגובות לפרסום (Atom)