בתקופת הלימודים שלי, כששיעמם והמרצה הסביר משהו לא חשוב, אהבתי להוכיח משפטים ידועים במתמטיקה.
יום אחד נזכרתי בשיעור בתיכון שהמורה אמר שההוכחה לשטח מעגל מסובכת ודורשת מתמטיקה גבוהה.
אז מצאתי דרך פשוטה שדורשת רק הגיון להוכחת שטח המעגל והיא עובדת כך:
נניח שקיימים מספר מסויים של משולשים שמונחים בצורה הזו:
נקבל מצולע כלשהו, במקרה שבתמונה הוא משושה. נחשב את שטחו.
נתחיל מחישוב משולש בודד. קיימת נוסחא ידועה וממש פשוטה להוכחה שאומרת ששטח משולש שווה למכפלת שתי צלעות כפול סינוס הזוית שבניהן חלקי 2, נשתמש בזה.
כלומר שטח משולש אחד על פי התמונה הוא:
כלומר:
אז יש לנו שטח משולש בודד. איך נחשב את שטח המצולע? אז קודם כל נבדוק את הדוגמא שבתמונה. קיימים במשושה שבתמונה 6 משולשים שווי שטח. לכן נכפול את השטח של המשולש הבודד ב6 ונקבל את שטח המשושה.
עכשיו נניח שיש לנו n משולשים. כדי למצוא את שטח המצולע צריך למצוא את מספר המשלושים (כלומר n). אז נעשה משהו אחר. נשים לב לזוית הראש במשולש (אלפא). ניתן לומר כי :
או במילים אחרות:
מעולה. ברור מאליו כי :
אז עכשיו אנחנו יודעים את מספר המשולשים. נשאר רק לכפול את מספר המשולשים בשטח של משולש בודד:
מכאן:
אז איך שטח המעגל קשור לזה?
אם יהיו לי אינסוף משולשים אז בעצם נקבל מעגל בעל רדיוס r. קל מאוד לדמיין זאת.
כאשר יש אינסוף משולשים אז זוית ראש של כל משולש שווה בעצם ל0. נכתוב זאת כך:
לא מסובך להוכיח כי:
ולכן:
והרי לנו שטח ה"מצולע" שלנו. המצולע הוא כמובן מעגל, כך הוכח כי:
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה