אינסוף פעמיים

יום שני, 29 בספטמבר 2014

משפט פתגורס - דברים שלא ידעתם

חוץ מהמשפט היודע

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

ישנם עוד הרבה דברים שמתלווים למשולש ישר הזוית שעליהם מדברים פחות והם לא מוכרים במיוחד.
אני אראה דוגמא.

משפט היין

הרעיון של המשפט ממש פשוט. עבור כל משולש שווה שוקיים ניתן להעביר מזוית הראש לבסיס ישר כך:

במקרה זה ניתן לומר כי :

$a^{2}+bd=c^{2}$

מזכיר קצת את משפט פתגורס לא? משפט פתגורס הוא מקרה פרטי של משפט היין (כאשר b=d).
למרות שמשפט פתגורס קיים עוד מאות שנים לפני הספירה. משפט היין הוכח רק בשנת 2000, למרות שזה לא משפט מסובך להוכחה.

עוד דבר ראוי לציון הוא שידוע כי סכום שטחי הריבועים המונחים על שני הניצבים שווה לשטח הריבוע המונח על היתר.
דבר זה נכון לא רק לגבי ריבועים אז לגבי שלוש צורות דומות כלשיהן שמונחות על צלעות המשולש ישר הזוית!

הוכחה למשפט פתגורס

למשפט פתגורס קיימות עשרות הוכחות מקוריות. חלק מהן ממש יצירתיות ויפות וחלקן מסורבלות, ארוכות ולא מעניינות במיוחד. הדרך הכי מוכרת להוכחת משפט פתגורס היא בעזרת שטח ריבוע :

דרך לא מסובכת, גם ממבט באיור ניתן לבוכיח את המשפט.

הדרך היותר יצירתית שנשיא ארצות הברית מצא היא זו:

ידוע ששטח של טרפז שווה ל:

$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

ניתן לראות כי זהו טרפז שגובהו הוא a+b ולכן:

$S=\frac{(a+b)^{2}}{2}$

מפני שמשולשים 1 ו2 מונחים כך אחד ליד השני אז משולש 3 הוא גם כן ישר זוית.

ומכאן, שטח שלושת במשולשים שווה

$S=\frac{a\cdot b}{2}+\frac{a\cdot b}{2}+\frac{c^{2}}{2}$

כלומר:

$S=ab+\frac{c^{2}}{2}$

כאשר נשווה:

$ab+\frac{c^{2}}{2}=\frac{(a+b)^{2}}{2}$

ומכאן נקבל:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

הוכחה לא מסובכת וגם אלגנטית מאוד.

יום ראשון, 28 בספטמבר 2014

שטח מעגל - הוכחה

בתקופת הלימודים שלי, כששיעמם והמרצה הסביר משהו לא חשוב, אהבתי להוכיח משפטים ידועים במתמטיקה.

יום אחד נזכרתי בשיעור בתיכון שהמורה אמר שההוכחה לשטח מעגל מסובכת ודורשת מתמטיקה גבוהה.

אז מצאתי דרך פשוטה שדורשת רק הגיון להוכחת שטח המעגל והיא עובדת כך:

נניח שקיימים מספר מסויים של משולשים שמונחים בצורה הזו:

נקבל מצולע כלשהו, במקרה שבתמונה הוא משושה. נחשב את שטחו.

נתחיל מחישוב משולש בודד. קיימת נוסחא ידועה וממש פשוטה להוכחה שאומרת ששטח משולש שווה למכפלת שתי צלעות כפול סינוס הזוית שבניהן חלקי 2, נשתמש בזה.

כלומר שטח משולש אחד על פי התמונה הוא:

$S_{\triangle }=\frac{r\cdot r\cdot sin\alpha }{2}$

כלומר:

$S_{\triangle }=\frac{r^{2}\cdot sin\alpha }{2}$

אז יש לנו שטח משולש בודד. איך נחשב את שטח המצולע? אז קודם כל נבדוק את הדוגמא שבתמונה. קיימים במשושה שבתמונה 6 משולשים שווי שטח. לכן נכפול את השטח של המשולש הבודד ב6 ונקבל את שטח המשושה.

עכשיו נניח שיש לנו n משולשים. כדי למצוא את שטח המצולע צריך למצוא את מספר המשלושים (כלומר n). אז נעשה משהו אחר. נשים לב לזוית הראש במשולש (אלפא). ניתן לומר כי :

$n\cdot \alpha =360^{\circ}$

או במילים אחרות:

$n=\frac{360^{\circ}}{\alpha }$

מעולה. ברור מאליו כי :

$n=\frac{2\pi }{\alpha }$

אז עכשיו אנחנו יודעים את מספר המשולשים. נשאר רק לכפול את מספר המשולשים בשטח של משולש בודד:

$S=\frac{r^{2 }\cdot sin\alpha}{2}\cdot \frac{2\pi }{\alpha }$

מכאן:

$S=\frac{\pi r^{2 }\cdot sin\alpha}{\alpha }$

אז איך שטח המעגל קשור לזה?

אם יהיו לי אינסוף משולשים אז בעצם נקבל מעגל בעל רדיוס r. קל מאוד לדמיין זאת.

כאשר יש אינסוף משולשים אז זוית ראש של כל משולש שווה בעצם ל0. נכתוב זאת כך:

$\lim_{\alpha \to 0} S=\frac{\pi r^{2 }\cdot sin\alpha}{\alpha }$

$\lim_{\alpha \to 0} S=\pi r^{2 }\cdot\frac{sin\alpha}{\alpha }$

לא מסובך להוכיח כי:

$\lim_{\alpha \to 0} \frac{sin\alpha}{\alpha }=1$

ולכן:

$\lim_{\alpha \to 0} S=\pi r^{2}$

והרי לנו שטח ה"מצולע" שלנו. המצולע הוא כמובן מעגל, כך הוכח כי:

$S_{\bigcirc }=\pi r^{2}$

יום שישי, 26 בספטמבר 2014

פרויקטנטים ועתודה - מבט לאחור

כל אחד בארץ מגיע לגיל בו הוא מסיים תיכון וצריך להתגייס לצבא. שלוש שנים (או שנתיים) של שירות למען המדינה. אלו שנים חשובות שלא רוצים לבזבז אותן על עבודה לא מספקת כמו תיוג מסמכים או שמירה בשער. אומנם היו לי ציונים גבוהים בתיכון אבל בצבא לא ראו את זה (זה קורה להם לעיתים תכופות). אמרו לי שאני אהיה סוהר. חזרתי כל כך מבוהל הביתה. לא ידעתי שבהמשך אני אכנס למסלול של פרויקטנטים, אבל נגיע לזה עוד מעט.

חשבתי אולי להיות עתודאי. ללמוד כמה שנים ואז להתגייס כקצין ולשרת 6 שנים עם התואר. הבעיה היא שלא היה לי זמן וכסף לעשות פסיכומטרי כמו שצריך אז הלכתי ללימודי הנדסאי. בכנס ההסברה של המסלול הציגו את המסלול כמסלול יוקרתי שבו לומדים שנתיים שבסופם זכאים לתואר "הנדסאי" ולאחר מכן מתגייסים ומתעסקים עם הטכנולוגיות הכי חדישות בצבא. אחרי הצבא מרווחים משכורת התחלתית בעלת חמש ספרות (בגדול הכל שקר, אבל לא ידעתי את זה).

אחרי שהתקבלתי למסלול, התחלתי בלימודים. עברה שנה ואז התחילו להסביר לנו על מסלול הפרויקטנטים. עוד לא כל כך הבנתי מה זה אומר אבל ניגשתי למבחנים. המבחנים לא היו פשוטים אבל עברתי אותם. ואז האמת התגלתה. במסלול ההנדסאים קיימים שלושה דרגים . ההנדסאים שלא הצליחו בלימודים יתקבלו לדרג א'. ההנדסאים שסיימו את הלימודים וקיבלו עד 90 יתקבלו לדרג ב'. וכל השאר (שאלו הפרויקטנטים) יתקבלו לדרג ד'. דרג ג' לא קיים.

מה עושים בדרג א'? סבלים של פצצות, מנקים וכל מיני עבודות דומות. בדרג ב' עושים עבודות תחזוקה פשוטות כמו בדיקת כרטיסי אלקטרוניקה וגם מה שדרג א' עושים. דרג ד' מתחילים לעשות דברים קצת יותר מעניינים, תלוי לאיזה יחידה מגיעים. מתחזוקה בסיסית ועד פיתוח מערכות אלקטרוניות. לשם אני הגעתי. שם גם פגשתי הרבה אנשים שעשו את מסלול העתודה. למדו 4 שנים במקומות כמו הטכניון, אוניברסיטת תל אביב ועוד.

ופה הכל התגלה לי. עתודאים שלומדים הנדסה לרוב לא באמת יצאו עם ניסיון מהצבא. אולי רק אלו שלמדו הנדסת תוכנה או מדעי המחשב יצאו עם ניסיון באמת טוב. כל השאר למדו 4 שנים שחוץ מהתעודה לא ישאר להם יותר מידי. ההנדסאים שלמדו יג' יד מתחלקים. בערך 95% מהם הולכים לתחזק את המטוס, להעמיס עליו פצצות ולנקות אותו. ורק 5% מהם, אלו שיהיו פרויקטנטים יתקדמו יותר. אם היו מסבירים לי את זה ככה מההתחלה אני לא יודע אם הייתי לוקח את הסיכון הזה.
אגב כתבו משהו מאוד נחמד על היחידה שלי באתר מקו. עוד מקור מידע ששווה לקרוא. בהצלחה!

יום רביעי, 24 בספטמבר 2014

איך ללמוד מתמטיקה

אחת העבודות היותר מעניינות שהיו לי זה מורה פרטי . פגשתי הרבה מאוד תלמידים ולימדתי הרבה מקצועות. כשלימדתי מתמטיקה שמתי לב לצורת הלימוד המשונה והלא מוצלחת במיוחד של המורים למתמטיקה.

אני אתן דוגמא.
לימדתי ילדה בכיתה יא'. באמת ילדה מקסימה וגם בעלת ציונים מעולים במקצוע. באחד התרגילים, סעיף א' של השאלה היה משהו כזה:

נתונים שני הישרים:

y=5x

y=-2x+14

מצא את נקודת החיתוך של הישרים.

ברגע שסיימה לקרוא את השאלה היא שלפה עפרון והחלה לפתור תוך כדי מלמול "אוי איזה קל!". אחרי כמה רגעים היא מראה לי פתרון שהוא נכון. הייתי חייב לבדוק אם היא הבינה או שפשוט היא רק עשתה מה שאמרו לה בכיתה.

אמרתי לה : "יפה מאוד, תשובה נכונה! עכשיו לי יש שאלה קטנה אלייך. כמה נקודות קיימות על הישר y=-2x+14?"

היא ענתה בהתלהבות : "אינסוף!"

עד כאן הכל נראה מצוין.

ואז שאלתי : "מעולה, אני רוצה שתמצאי לי נקודה על הישר שה-y שלה גדול פי 5 מה-x שלה"

לאחר הרבה מחשבה היא לא ידעה איך לענות לשאלה ששאלתי אותה.

אומנם התלמידים מצליחים לפתור תרגילים אבל הם לא מבינים מה הם עושים. המורה אולי מצליח להתקדם בחומר, אבל בהמשך הלימוד הם ילכו לאיבוד כי מלכהתחילה הם לא באמת הבינו מה הם עושים. יוצא מצב שתלמידי תיכון שסיימו בציון טוב לא מבינים דברים בסיסיים אלא רק יודע לפתור תרגילים שמנוסחים בנוסח תרגיל בגרות ולא משהו אחר.

יש אומרים שפיתגורס היה מורה מצוין. הוא לימד בצורה ויזואלית ומרתקת. יש סיפור עתיק על התקופה בה לימד שבה לקח את תלמידיו לים והוכיח להם את המשפט : "לסכום של כל המספרים האי זוגיים מ1 תמיד יהיה שורש שלם"

במקום להכנס למתמטיקה מורכבת, הוא הסתפק בצדפים שהיו על החוף והראה להם זאת.

ניתן לראות שכל מספר אי-זוגי שנוסיף ישמור על צורת הריבוע ולכן מספר "הצדפים" יהיה מכפלה של מספר בעצמו. מכאן שקיים שורש שלם.

יום שישי, 19 בספטמבר 2014

חידת אינשטיין

אלברט אינשטיין מוכר כמתמטיקאי ופיזיקאי יהודי שחי בגרמניה. כולם כבר יודעים שהוא היה גאון שאין אדם ממוצע מעל גיל 10 מכיר אותו. מי שחיפש קצת מידע על אינשטיין בטח ראה שקיימת חידה מיוחדת שהוא כתב. החידה הזו מיוחדת ממספר סיבות.

החידה לא דורשת ידע במתמטיקה או בפיזיקה. רק יכולת קריאה והגיון בריא. בלתי אפשרי להשתמש בשיטות פתרון שנלמדות במוסדות הלימוד השונים. דבר זה מאוד חשוב, כך בעצם החידה מביאה את כולם לנקודת התחלה שווה לא משנה מהי השכלתם.
לפי טענתו, רק 2% מהאוכלוסיה יכולים לפתור את החידה.

והינה החידה:

ישנם 5 בתים
כל בית צבוע בצבע שונה משאר הבתים.
בכל בית יש דייר בעל לאום שונה.
כל אחד מהדיירים שותה סוג משקה אחד ,מעשן סוג סיגריות אחד ומגדל סוג אחד של בע"ח.
אין דיירים שמחזיקים את אותה חיה או שותים את אותו משקה או מעשנים את אותו סוג סיגריות.
ידוע כי:

הבריטי גר בבית האדום.

הדני שותה תה.

השוודי מגדל כלבים.

הבית הירוק נמצא משמאל לבית הלבן.

הדייר בבית הירוק שותה קפה.

האיש שמעשן "פול-מל" מגדל ציפורים.

הדייר בבית הצהוב מעשן "דנהיל".

הדייר בבית האמצעי שותה חלב.

הנורווגי גר בבית הקיצוני ביותר.

הדייר שמעשן "בלנד" גר ליד הדייר שמגדל חתולים.

הדייר שמגדל סוסים גר ליד זה שמעשן "דנהיל".

הדייר שמעשן "בלו-מסטר" שותה בירה.

הגרמני מעשן "פרינס".

הנורווגי גר צמוד לבית הכחול.

לדייר שמעשן "בלנד" יש שכן ששותה מים.

השאלה היא: מי מהדיירים מחזיק דגים?

ממבט ראשון החידה נראת מוזרה מאוד. אבל כשנכנסים לזה ומתחילים לפתור אז מגלים הרבה דברים מאוד מעניינים וכל הנתונים מתחברים. בנוסף, כשראיתי את החידה שאלתי את עצמי באותו הרגע "אני נמצא ב2% האלה?" ועכשיו אני יודע.
ממליץ לכם גם לבדוק.

יום שני, 15 בספטמבר 2014

איזה מקצוע כדאי ללמוד?

אין כמעט בנאדם שבשלבי סיום תיכון ועד שלבי סיום הצבא שלא שואל את עצמו מה הוא רוצה לעשות כשהוא יהיה גדול.
רק שהפעם השאלה אמיתית. גם אני הייתי במצב הזה ואני עוד עובר את התהליך, למזלי בהרגשה שעשיתי את הבחירה הנכונה. הצלחתי לחלק את הבחירה לכמה שלבים קלים שיעזרו לכם הקוראים לא להתבלבל בבחירה.

שלב ראשון - מה אתם אוהבים

לפני שאפשר לדבר על רווחים, נוחות, שעות עבודה ועוד, צריך להבין שאתם צריכים לבחור מקצוע שאתם אוהבים הגיוני לא? לדוגמא אני לא יכול לסבול מקצועות רבי מלל אז אני לא הולך להיות עורך דין. יכול להיות שאני אהיה ממש טוב בזה, אבל ללא עניין במקצוע אין רגש, וחשק לעבוד. ככל שתאהבו יותר את המקצוע אז תגלו בו עניין רב יותר ותשתפרו בו עד שתהיו הצלחה לא קטנה. לכן כדאי להכין שימה של מקצועות שמושכים אתכם. אתם יכולים ללכת לאתר בחירה טובה או AllJobs כדי לקבל רעיונות למקצועות.

שלב שני - סינון ראשוני

שלב זה קצר למדי אבל חיוני מאוד! יש הרבה קריטריונים בסיסיים למקצועות, לדוגמא ביקוש. גם אם מצאתם מקצוע שאתם חושבים שיושב עליכם בול אבל לא תוכלו באמת לעבוד במקצוע זה אז חבל על הזמן שתשקיעו בלימוד שלו. אני אתן דוגמא. מבקר אומנות יכולה להיות עבודה מדהימה לאדם שאוהב אומנות, זו גם עבודה רווחית, מעניינית, לא קשה ובעלת יתרונות נוספים רבים. הבעיה היא שבכל הארץ דרושים אולי אחדים כאלה. אז חבל לבזבז את הזמן וללמוד את המקצוע הזה. אולי אפשר לשמור אותו כתחביב.

דבר שני שצריך לקחת בחשבון הוא האם יש סיכוי סביר להצליח במקצוע. לדוגמא בחור שלא סיים בגרות ורוצה ללמוד רפואה יתקל בבעיה רצינית. יכול להיות שהוא אכן מסוגל להיות רופא ואפילו אחד מאוד מוצלח. אבל בשביל זה הוא צריך לקבל בבחינה הפסיכומטרית ציון גבוה מאוד וגם להיות בעל תעודת בגרות עם ממוצע בשמיים. חבל לבזבז כל כך הרבה זמן כדי לנסות לשפר את הציונים. אם זה שיפור קטן (או אפילו גדול) ואתם חושבים שזה אפשרי אז לכו עם הלב! אבל להיות ראליים.

שלב שלישי - הבחירה המשתלמת

אחרי שיצרת רשימה של מקצועות וסיננת מתוכם מקצועות שלא מתאימים, נשארו מקצועות סבירים שיכולים להיות בסדר. אבל איזה מהם הוא הכי טוב? השיקול האחרון הוא נוחות העבודה. מה זה נוחות? כמו שהוזכר לכל מקצוע יש את התכונות המיוחדות שלו. שעות עבודה, שכר, קרבה למקום המגורים, רמת סיכון ועוד. דוגמא מעניינת יכולה להיות אם אני מתלבט בין טכנאי למהנדס. בשני המקצועות אעבוד בטכנולוגיות למיניהן וסביר יותר להניח שכטכנאי תהיה לי עבודה קרובה לבית. אבל מהנדס מרוויח בערך פי 2-3 יותר מטכנאי, מקבל רכב על חשבון החברה ואין לו סיכון של התחשמלות או עבודת כפיים. לכן הבחירה ברורה.

לסיום אחרי שלושת השלבים נשארתם עם מקצועות בודדים (אם לא יחיד) ומכאן לכו עם הלב. זה מאוד חשוב כי בסך הכל אין נוסחאות לדברים האלה. אל תמהרו כי זו ההחלטה בין החשובות שעושים בחיים.

בהצלחה!